MAKALAH MATEMATIKA

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

TRIGONOMETRI

Oleh :

KELAS X MIPA 4

NAMA KELOMPOK :

1. A. ADRIANI ADIWIJAYA

2. ELA KASRINA

3. DIAN FEBRIANA

4. SITI NURHALISA

5. NINGSIH PURNAMA SARI

SMA NEGERI 4 WATAMPONE

TAHUN AJARAN 2017/2018

KATA PENGANTAR

Asslamu’alaikum Wr. Wb.

Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, yang telah memberikan nikmat nikmat kepada kita, tak lupa shalawat beserta salam kami limpah curahkan kepada Nabi Muhammad SAW.

Pada kesempatan ini kami selaku penulis mencoba untuk membuat makalah tentang. “Fungsi Komposisi dan Fungi Invers- Trigonometri” Makalah ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata pelajaran “MATEMATIKA”.

Kami mengucapkan banyak terima kasih kepada segenap pembaca. Apabila dalam makalah ini terdapat banyak kekurangan, kami mohon maaf. Dan kami sangat menantikan saran dn kritik pembaca yang sifatnya membangun. Atas perhatiannya kami ucapkan terima kasih.

Watampone, 25 Maret 2017

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ............................................................................. i

DAFTAR ISI ............................................................................................. ii

BAB I..... PENDAHULUAN

A. Latar Belakang..................................................................... 1

B. Rumusan Masalah................................................................. 2

C. Tujuan Penulisan................................................................... 2

BAB II... PEMBAHASAN

I. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS............................ 3

A. Fungsi Komposisi.................................................................. 3

B. Fungsi Invers......................................................................... 7

II. TRIGONOMETRI...................................................................... 10

A. Ukuran Sudut (Derajat Dan Radian)................................... 10

B. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Pada Segitiga Siku-Siku 11

C. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa 13

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi.... 14

E. Identitas Trigonometri ......................................................... 17

F. Aturan Sinus dan Cosinus.................................................... 19

G. Grafik Fungsi Trigonometri.................................................. 20

BAB III.. PENUTUP

A. Kesimpulan........................................................................... 23

B. Saran..................................................................................... 23

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pernahkah kalian membayangkan tombol-tombol (tuts) komputerdan tampilan pada layar saat kalian mengetik karakter per karakter? Coba perhatikan, ketika pada tombol tertulis huruf ”a”, setelah diketik pada layar juga muncul huruf ”a”. Demikian juga saat pada tomboldiketik huruf ”k”, pada layar juga muncul huruf ”k”. Jika kalian pikirkan, tentunya ada hubungan (relasi) antara sistem pada tombol dan tampilan pada layar. Kasus ini termasuk aplikasi fungsi dalam kehidupan sehari-hari yang sering dijumpai.

Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebah fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiaptiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap-tiap anggota pada himpunan B. Untuk bisa menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi komosisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Studi tentang trigonometri sebagai cabang matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201-1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar).

Dalam mempelajari fungsi trigonometri sering banyak yang merasa kesulitan, padahal jika kita mengetahui konsep dasarnya itu tidak akan terjadi. Bentuk soal seperti apapun kita akan dapat kerjakan yang penting kita mengetahui konsep dasarnya. Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama.

Mengenai fungsi trigonometri yaitu meliputi trigonometri dasar, identitas trigonometri serta rumus-rumus dalam trigonometri telah kita pelajari bersama sebelumnya. Sekarang ini yang akan kita pelajari mengenai persamaan dan pertidaksamaan dalam trigonometri. Makalah ini bertujuan untuk memudahkan sobat semua dalam belajar matematika, sehingga ketika menemui soal mengenai persamaan ataupun pertidaksamaan trigonometri tidak akan merasa kesulitan.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana Fungi Komposisi?

2. Bagaimana Fungsi Invers?

3. Bagaiamana Ukuran Sudut (Derajat Dan Radian) ?

4. Bagaimana Cara Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Pada Segitiga Siku-Siku?

5. Bagaimana Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa?

6. Bagaimana Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi?

7. Bagaiaman Identitas Trigonometri?

8. Bagaimana Aturan Sinus dan Cosinus?

9. Bagaimana Grafik Fungsi Trigonometri?

C. Tujuan Penulisan

1. Mengetahui Fungi Komposisi

2. Mengetahui Fungsi Invers

3. Untuk mengetahui Ukuran Sudut (Derajat Dan Radian)

4. Untuk mengetahui Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut Pada Segitiga Siku-Siku

5. Untuk mengetahui Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

6. Untuk mengetahui Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

7. Untuk mengetahui Identitas Trigonometri

8. Untuk mengetahui Aturan Sinus dan Cosinus

9. Untuk mengetahui Grafik Fungsi Trigonometri

BAB II

PEMBAHASAN

I. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

A. Fungi Komposisi

1. Pengertian Fungi Komposisi

Dari dua buah fungsi f (x) dan g (x) dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan o (dibaca : komposisi atau bundaran).

Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi itu adalah :

a. (f o g) (x) dibaca : f komposisi gx atau fgx

b. (g o f) (x) dibaca : g komposisi fx atau gfx

1) Misal fungsi

g : A à B ditentukan dengan y = g (x)

f : B à C ditentukan dengan y = f (x)

Fungsi komposisi f dan g ditentukan dengan :

h (x) = (f o g) (x) = f (g(x))

2) Misal fungsi

f : A à B ditentukan dengan y = f (x)

g : B à C ditentukan dengan y = g (x)

Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan :

h (x) = (g o f) (x) = g (f (x))

Misal fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan dengan rumus f (x) = 3x – 1 dan g (x) = 2x. Tentukan : a. (f o g) (x) b. (g o f) (x)

Jawab :

a. (f o g) (x) = f (g (x))

= f (2x)

= 3 (2x) – 1 = 6x – 1

b. (g o f) (x) = g (f (x))

= g (3x – 1)

= 2 (3x – 1) = 6x – 2

2. Syarat Fungi Komposisi

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (2,3), (8,5)}

g : {(3,8), (4,1), (5,-1), (6,2)}

Tentukan :

a. f o g d. (f o g) (2)

b. g o f e. (g o f) (1)

c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g digambarkan dalam diagram panah (pemetaan).

a. (f o g) = {(3,5), (4,6), (5,4), (6,3)}

g f

(f o g)

(g o f) = {(-1,1), (1,2), (2,8), (8,-1)}

f g

(g o f)

b. (f o g) (4) = 6

c. (f o g) (2) tidak didefinisikan

d. (g o f) (1) = 2

e. (g o f) (4) tidak didefinisikan

Contoh 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut

f : {(0,1), (2,4), (3,-1), (4,5)}

g : {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}

Tentukan : a) f o g b) g o f

Jawab :

Dg Rg Df Rf

(f o g)

f g

Df Rf Dg Rg

(g o f)

Dari contoh 1 dan 2 dapat disimpulkan syarat fungsi komposisi (f o g) adalah :

· Hasil irisan antara daerah hasil fungsi g dengan daerah asal fungsi f bukan himpunan kosong.

R_g Ç D_f ¹ f

· Daerah asal fungsi komposisi (f o g) adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi g.

D_{(f o g)} Í D_g

· Daerah hasil fungsi komposisi (f o g) adalah himpunan bagian dari daerah hasil fungsi f.

R_{(f o g)} Í R_f

Contoh :

Diketahui fungsi f : R à R dan g : R à R ditentukan dengan rumus :

f (x) = 2x + 1 dan g (x) =

Tentukan :

a. (f o g) (x)

b. (g o f) (x)

c. Daerah asal (f o g) (x) dan daerah hasil (f o g) (x)

d. Daerah asal (g o f) (x) dan daerah hasil (g o f) (x)

Jawab :

f (x) = 2x + 1

Daerah asal D_f : {x | x Î R} daerah hasil R_f : {y | y Î R}

g (x) =

Daerah asal D_g : {x | x ³ 0, x Î R}, daerah hasil R_g : {y | y ³ 0, y Î R}

a. (f o g) (x) = f (g (x)) = f (

) = 2

+ 1

b. ( g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 1) =

c. Daerah asal (f o g) (x) = D_{(f o g)} = {x | x ³ 0, x Î R}

Daerah hasil (f o g) (x) = R_{(f o g)} = {y | y ³ 1, y Î R}

Tampak bahwa D_{(f o g)} = D_g dan R_{(f o g)} Ì R_f

d. Daerah asal (g o f) (x) = D_{(g o f)} = {x | x ³ ½ , x Î R}

Daerah hasil (g o f) (x) = R_{(g o f)} = {y | y ³ o, y Î R}

Tampak bahwa D_{(g of)} Ì D_f dan R_{(g o f)} = R_g

3. Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui

Misal fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) sudah diketahui maka fungsi g dapat ditentukan, demikian juga fungsi g dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) diketahui maka fungsi f dapat ditentukan.

Contoh 1

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -2x + 3 dan f (x) = 2x + 1.

Tentukan fungsi g (x).

Jawab :

(f o g) (x) = -2x + 3

f (g (x)) = -2x + 3

2 (g (x)) + 1 = -2x + 3

2 g (x) = -2x + 2

g (x) =

g (x) = -x + 1

Jadi fungsi g (x) = -x + 1

Contoh 2

Diketahui fungsi komposisi (f o g) (x) = 4 – 2x dan fungsi g (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi f (x).

Jawab :

(f o g) (x) = 4 - 2x

f (g (x)) = 4 – 2x

f (2x + 2) = 4 – 2x

f (2x + 2) = 4 – ((2x + 2) –2)

= 4 – (2x + 2) + 2

f (2x + 2) = 6 – (2x + 2)

f (x) = 6 – x

D. Fungsi Invers

1. Pengertian Fungi Invers

Jika fungsi f : A à B dinyatakan dalam pasangan terurut

f : {(a,b) | a Î A dan b Î B} maka invers dari fungsi f adalah f^-1 : B à A ditentukan oleh :

f^-1 : {(b,a) | b Î B dan a Î A}

Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi maka Fungi Invers itu disebut fungsi invers.

Contoh :

Misal A : {-2, -1, 0, 1} , B : {1, 3, 4}.

Fungsi f : A à B ditentukan oleh f : {(-2,1), (-1,1), (0,3), (1,4)}.

Carilah Fungi Invers f, dan selidiki apakah Fungi Invers f merupakan fungsi.

Jawab :

Fungi Invers f adalah f^-1 = B à A ditentukan oleh :

f^-1 : {(1,-2), (1,-1), (3,0), (4,1)}.

Fungsi f dan f^-1 disajikan dalam gambar diagram panah

f f^-1

A B B A

Terlihat bahwa f^-1 adalah relasi biasa (bukan fungsi).

1. Misal A : {1,2,3} B : {2,4,6,8}. Fungsi g : A à B ditentukan oleh

g : {(1,2), (2,4), (3,6)}.

Tentukan invers fs g, dan selidiki apakah Fungi Invers g merupakan fungsi ?

Jawab : kerjakan sebagai latihan.

g g^-1

A B B A

Terlihat bahwa g^-1 adalah ………

2. Misal A : {a,b,c,d} dan B : {1,2,3,4}, fungsi h : A à B ditentukan oleh

h : {(a,2), (b,1), (c,3), (d,4)}.

Carilah Fungi Invers h dan seilidiki apakah Fungi Invers h merupakan fungsi ?

Jawab : kerjakan sebagai latihan

h h^-1

A B B A

Fungsi h^-1 adalah ……

Suatu fungsi f : A à B mempunyai fungsi invers f^-1 = B à A jika dan hanya jika f merupakan fungsi .

2. Menentukan rumus fungsi invers

Beberapa langkah untuk menentukan rumus fungsi invers f^-1(x) jika f (x) diketahui adalah sebagai berikut :

1. Ubah persamaan y = f (x) dalam bentuk f sebagai fungsi y.

2. Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinamai dengan f^-1(y).

3. Ganti y pada f^-1(y) dengan x untuk memperoleh f^-1(x). Maka f^-1(x) adalah rumus fungsi Fungi Invers f (x).

Contoh :

1. Fungsi berikut adalah pemetaan dari R ke R. tentukan rumus inversnya

a. f (x) = 2x + 2